什么是导数,如何理解导数的概念 ?

发布于 2021-10-18 00:14:32

什么是导数,如何理解导数的概念 ?

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admin 2021-10-18
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什么是导数先简短地回答下我对“什么是导数”的认识:导数是用来找到“线性近似”的数学工具。

下面我来解释一下,为什么我是这样认为的。

在我学习微积分的过程中,我对导数的认知经历了三次变化:

导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度

导数是用来找到“线性近似”的数学工具

导数是线性变换

我认为第一种认知比较片面,在多元函数的情况下甚至是错误的。
第二种认知更接近微积分的本质,第三种认知是为了实现第二种认知发展出来的。

因为种种原因,我们的学习都是从第一种认知开始的。
我会在本文分别介绍一下这三种认知。
最后会通过第三种认知回答“多元微积分中,可微函数的切线为什么会共面(此平面即切平面)?”

1 导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度

微积分的发明人之一是牛顿,牛顿主要还是研究物理为主,微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具(大师就是这么厉害)。

因为牛顿研究物理的缘故,所以牛顿用变化率的方式引入了导数(牛顿称之为“流数”)。

在物理里面变化率还是很自然的概念,比如为了求瞬时速度:

同理,求加速度的话就是求速度对于时间的变化率,这里就不赘述了。
学习物理的一般习惯把导数看作变化率。

还可以顺便得到了切线的斜率:

我们一般是上面这样的学习过程,所以我们认为,导数是曲线的变化率、是瞬时速度、是加速度,还可以是切线的斜率。

1.1 但是!

把导数看作是变化率、是切线的斜率,在一元函数的时候是正确的,但是,敲黑板,说但是了哈。

在二元函数中,比如这样一个曲面上的一点 :

在曲面上可以做无数条过 点的曲线(图上随便画了三根):

把导数看作是变化率、是切线的斜率,在多元函数中是片面的,甚至是不正确的。

我们必须要重新审视“导数是什么”这个问题。

顺便说一下,把导数继续看作变化率,切线的斜率,可以得到偏导数、方向导数、全导数,可以参看我之前写过的一个回答: 什么是全导数? 。

2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具

讲这个之前,我们要先理解微积分的基本思想。
这个思想在我的很多回答中都提到了,这里简单的阐述下。

2.1 微积分的基本思想

微积分的基本思想是“以直代曲”:

“以直代曲”的意思就是,切线可以在切点附近很好的近似曲线:

我觉得下面这幅图也挺有意思,如果在曲线上多选几个点,都作出附近的切线,我们可以透过切线看到曲线的轮廓:

这里我希望给你一个直观印象,切线可以在切点附近很好的近似曲线。
如果仔细看泰勒公式、洛必达法则等,还会通过代数发现这一事实。

2.2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具

因为“以直代曲”是微积分的基础,所以我们首要任务就是要找到这个“直”,也就是切线,也就是所谓的“线性近似”。
导数就是为了完成这个任务需要使用的数学工具。

我们来看看,在一元函数中:

因此,在一元函数中,我们把导数看作斜率,可以找到我们想要的“线性近似”(切线),但是在二元中,我们需要新的技术手段。

3 导数是线性变换

3.1 二元函数的“线性近似”

导数最主要的目的是找到“线性近似”,在一元函数的时候是要找到切线,在二元函数的时候是要找到一个切平面(可以参考我之前的回答: 如何理解全微分? ):

一个平面是没有斜率的概念的,因此我们不能把导数继续看作斜率了,我们需要别的方法来找到这个切平面。

3.2 线性变换

对线性代数不熟悉的话,可以先看下我之前的回答 什么是仿射变换? 。
下面就会用到大量的线性代数基础知识,我不再进行解释了。

还是从一元的时候开始推:

上图的 指向右边,实际上求出的 是右导数,我换个方向就可以求出左导数:

如果 ,相当于左右导数相等,我们就称为此点可导。

顺便说一句,此时在 点附近同样也有 。

二元函数的时候, 有无数的方向(不像一元的时候只有左右两边):

我们把这些 分别记为 ,那它们的切线分别为:

导数分别就是 (可以理解这些都是方向导数)。

导数:如果有 ,那么此点可导,此点导数即为 。

为什么 就是导数? 不是还没有完成找到切平面的任务吗?

3.3 通过导数 来找到切平面

首先,所有的 肯定是共面的:

因为此点可导,即所有的 的导数都是 ,所以变换后的结果也共面(线性变换的特点是,变换前是共面的,变换后也是共面的):

看看动画吧(可以旋转视角来观察):

对所有的 的都进行 变换,实际上就得到了切平面:

至此,导数完成了找到“线性近似”的任务。
这里也很自然的回答了“多元微积分中,可微函数的切线为什么会共面(此平面即切平面)?”

注意,有一点需要特别说明的是,因为矢量的起始点要求是在原点,但是我上面把起始点放在 点了,所以实际上是仿射变化,所以实际上 , 仍然是导数。

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